Що таке критерій Келлі (Kelly criterion)?

Коротко. Критерій Келлі – це формула частки капіталу, яку варто ризикувати в кожній угоді, щоб максимізувати довгострокове зростання рахунку за відомого вінрейту й співвідношення виграшу до програшу. У трейдингу її зазвичай записують як f = W − (1 − W) / R, де W – вінрейт, а R – середній прибуток, поділений на середній збиток. Слабке місце формули – вхідні дані: повний Келлі припускає, що ваша перевага відома точно, тому більшість трейдерів використовують його як стелю і ризикують значно менше.

Більшість правил ризику для трейдерів починаються з фіксованого числа, наприклад 1% рахунку на угоду. Критерій Келлі заходить з іншого боку. Він питає, яка частка капіталу за вашою реальною статистикою найшвидше наростить рахунок на довгій дистанції, і приймає будь-яку відповідь, яку дає математика. Ця відповідь часто несподівано велика, і розуміння причин – найкорисніша частина знайомства з формулою.

Що таке критерій Келлі

Формулу запропонував Джон Л. Келлі-молодший, дослідник Bell Labs, який опублікував статтю "A New Interpretation of Information Rate" у Bell System Technical Journal у липні 1956 року. Робота стосувалася теорії інформації, а не ринків: вона показувала, як гравець з інформативним сигналом може визначати розмір ставок, щоб капітал зростав з максимально можливою швидкістю.

Пізніше Едвард О. Торп застосував цю ідею до підрахунку карт у блекджеку, а потім до цінних паперів. У своїй роботі про критерій Келлі в блекджеку, спортивних ставках і на фондовому ринку він описує його як максимізацію очікуваного значення логарифма капіталу – підхід, відомий також як стратегія оптимального зростання або максимізації середнього геометричного. Простіше кажучи, розмір за Келлі ігнорує середній результат однієї угоди й оптимізує складений результат довгої серії угод.

Формула Келлі для трейдингу

Для угоди з двома результатами – прибуток у R разів більший за ризик або збиток у розмірі ризику – частка за Келлі дорівнює:

f = W − (1 − W) / R

• f: частка рахунку, яку ризикують в угоді, тобто сума втрати при спрацюванні стопу, а не розмір позиції.
• W: вінрейт у десятковому вигляді (45% = 0,45).
• R: співвідношення виграшу до програшу, середній прибуток, поділений на середній збиток. Якщо збитки близькі до 1R, це те саме, що середній прибутковий R-multiple.

Перший пункт важливіший, ніж здається. Результат Келлі 10% не означає позицію вартістю 10% рахунку. Він означає стоп, поставлений так, щоб збиток коштував 10% рахунку. Саму позицію потім розраховують від відстані до стопу, так само як у звичайному розрахунку розміру позиції.

Усі цифри – наші власні розрахунки за формулою. Помітні дві речі. По-перше, стратегія з нульовим очікуванням (expectancy) отримує частку Келлі нуль, а від'ємний результат означає, що формула радить угоду не відкривати взагалі. По-друге, цілком звичайна статистика дає повний Келлі на рівні 10-20% на угоду, що в рази більше за 0,5-2%, які дозволяє більшість правил ризику.

Чому повний Келлі занадто агресивний для більшості трейдерів

Леонард Маклін, Едвард Торп і Вільям Зімба підсумовують цей компроміс в огляді сильних і слабких властивостей критерію Келлі. Головна перевага – він максимізує довгострокову швидкість зростання капіталу. Головний недолік – рекомендовані ставки можуть бути дуже великими, тож на короткій дистанції Келлі може бути дуже ризикованим.

Таблиця нижче використовує вінрейт 45% і співвідношення 2,0 з прикладу вище, де повний Келлі становить 17,5%. Вона порівнює довгострокове зростання на угоду з просадкою від п'яти збитків поспіль, що зовсім не рідкість: за вінрейту 45% серія з п'яти чи більше збитків трапляється приблизно в 92% послідовностей зі 100 угод, якщо угоди незалежні.

Це наші власні розрахунки для цього прикладу, а не дані реальних рахунків. Закономірність збігається з дослідженнями: половина Келлі зберігає приблизно три чверті зростання і помітно зменшує просадку. Маклін, Торп і Зімба наводять приклад із блекджеку, де ймовірність подвоїти банкрол раніше, ніж втратити половину, зростає приблизно з 0,67 за повного Келлі до приблизно 0,89 за половини Келлі, а відносне зростання становить близько 0,75.

Вище за Келлі асиметрія працює у зворотний бік. Ставка, більша за частку Келлі, одночасно додає ризику й знижує зростання. Та сама робота зазначає, що для процесів, близьких до неперервного часу, ставка вдвічі більша за Келлі знижує зростання приблизно до безризикової ставки, тобто весь додатковий ризик не дає жодного додаткового зростання. У прикладі вище подвійний Келлі (35% на угоду) зберігає лише близько 6% швидкості зростання, а п'ять збитків опускають рахунок приблизно на 88%.

Проблема вхідних даних: ваша перевага – це оцінка

Келлі припускає, що вінрейт і співвідношення виграшу до програшу відомі. У трейдингу вони ніколи не відомі: це оцінки з обмеженого журналу, і вони дрейфують разом зі зміною ринку. Маклін, Торп і Зімба наголошують, що розрахунки Келлі надзвичайно чутливі до помилок в оцінці середньої дохідності, і радять зменшувати розмір ставок, щоб бути на безпечному боці.

Розмір вибірки показує, наскільки широка ця невизначеність. Таблиця нижче бере виміряний вінрейт 45% і співвідношення 2,0 та показує діапазон в одну стандартну похибку:

Навіть на 200 угодах «правильний» розмір за Келлі може правдоподібно бути вдвічі меншим або вдвічі більшим за іншу розумну оцінку, і це без урахування змін у співвідношенні виграшу до програшу. Якщо справжній вінрейт 40%, а журнал показує 45%, трейдер, який ризикує виміряні 17,5%, ставить у 1,75 раза більше за справжній Келлі в 10%. За нашим розрахунком, це приблизно вдвічі знижує довгострокову швидкість зростання порівняно з правильним розміром і водночас відкриває рахунок значно глибшим просадкам.

Як трейдери застосовують критерій Келлі на практиці

На практиці критерій Келлі корисніший як перевірка здорового глузду, ніж як правило визначення розміру:

1. Виміряти вхідні дані на реальній вибірці: вінрейт і співвідношення виграшу до програшу щонайменше зі 100 закритих угод за однаковими правилами, після комісій і сліппеджу.
2. Розрахувати повний Келлі: якщо результат нульовий чи від'ємний, проблема в стратегії, а не в розмірі.
3. Взяти частку й застосувати жорсткий ліміт: у літературі про Келлі зазвичай розглядають половину й чверть Келлі; багато трейдерів ідуть далі й обмежують ризик лімітом, який дозволяють правила рахунку.
4. Перераховувати за графіком: оновлювати вхідні дані на фіксованому огляді, а не після вдалої чи невдалої серії.

Ліміт часто важить більше за частку. На рахунку проп-фірми з, наприклад, максимальним лімітом збитку 10% один збиток за повного Келлі з прикладу 17,5% закрив би рахунок. У такій ситуації корисне прочитання Келлі протилежне до «ризикуй більше»: якщо ваш фіксований ризик 1% уже значно нижчий за чверть Келлі, то не розмір стримує результати. Ширша система таких лімітів – у нашому гайді з ризик-менеджменту для трейдерів.

Де формула перестає працювати

Проста трейдингова версія Келлі спирається на припущення, які реальна торгівля рідко виконує:

• Два фіксовані результати: реальні угоди дають розкид R-multiple, включно з частковими прибутками і збитками понад 1R через гепи чи сліппедж.
• Незалежні угоди: корельовані позиції, відкриті одночасно, працюють як одна більша ставка, тож застосування Келлі до кожної окремо завищує безпечний розмір.
• Стабільна перевага: вінрейт і співвідношення виграшу до програшу змінюються разом з ринковими режимами, тож дані минулого кварталу можуть не описувати наступний.
• Необмежений час: перевага Келлі асимптотична. Маклін, Торп і Зімба вказують, що може минути дуже багато часу, перш ніж одна стратегія надійно обійде іншу, а будь-яка стратегія може дати поганий результат на скінченній серії.

Це не робить формулу марною. Це означає, що її результат описує найкращий сценарій для вашої статистики, а реальна відповідь лежить нижче.

Що записувати, щоб вхідні дані були реальними

Розрахунок Келлі якісний настільки, наскільки якісний журнал за ним. Важливі поля:

• Запланований ризик і фактичний результат у R для кожної угоди, щоб співвідношення виграшу до програшу бралося з реальних виходів, а не з цілей.
• Комісії й сліппедж окремо, бо вони зменшують співвідношення виграшу до програшу, а з ним і частку Келлі.
• Тег сетапу чи стратегії, адже два сетапи з різною статистикою мають різні частки Келлі, і їх не варто змішувати.
• Дані про серії, як-от максимальна серія збиткових угод, щоб перевірити, яку просадку дав би той чи інший рівень ризику.

Ця стаття має виключно освітній характер і не є фінансовою чи інвестиційною порадою. Формули й приклади ілюстративні й не є рекомендованими розмірами позицій. Трейдинг, особливо з кредитним плечем, пов'язаний з високим ризиком втрати частини або всього капіталу, а статистика минулих угод не гарантує майбутніх результатів.

Трейдинговий журнал, що фіксує ризик, R-multiple і сетап кожної угоди, разом з дашбордом результатів, який показує вінрейт і середні прибуток та збиток у часі, дає вхідні дані для перевірки за Келлі з реальних даних, а не з пам'яті.