Что такое критерий Келли?

Коротко. Критерий Келли – это формула доли капитала, которую стоит рисковать в каждой ставке или сделке, чтобы максимизировать долгосрочный рост счёта при известных винрейте и соотношении прибыли к убытку. В трейдинге её обычно записывают как f = W − (1 − W) / R, где W – винрейт, а R – средняя прибыль, делённая на средний убыток. Слабое место формулы – входные данные: полный Келли предполагает, что преимущество известно точно, поэтому большинство трейдеров используют его как потолок и рискуют гораздо меньше.

Большинство правил риска для трейдеров начинаются с фиксированного числа, например 1% счёта на сделку. Критерий Келли заходит с другой стороны. Он спрашивает, какая доля капитала при реальной статистике трейдера быстрее всего нарастит счёт на длинной дистанции, и принимает любой ответ, который даёт математика. Этот ответ часто неожиданно велик, и понимание причин – самая полезная часть знакомства с формулой.

Что такое критерий Келли

Формулу предложил Джон Л. Келли-младший, исследователь Bell Labs, опубликовавший статью "A New Interpretation of Information Rate" в Bell System Technical Journal в июле 1956 года. Работа касалась теории информации, а не рынков: она показывала, как игрок с информативным сигналом может выбирать размер ставок, чтобы капитал рос с максимально возможной скоростью.

Позже Эдвард О. Торп применил эту идею к подсчёту карт в блэкджеке, а затем к ценным бумагам. В работе о критерии Келли в блэкджеке, спортивных ставках и на фондовом рынке он описывает его как максимизацию ожидаемого значения логарифма капитала – подход, известный также как стратегия оптимального роста или максимизации среднего геометрического. Проще говоря, размер по Келли игнорирует средний результат одной сделки и оптимизирует сложный результат длинной серии сделок.

Формула Келли для трейдинга

Для сделки с двумя исходами – прибылью в R раз больше риска или убытком в размере риска – доля по Келли равна:

f = W − (1 − W) / R

• f: доля счёта, которой рискуют в сделке, то есть сумма потери при срабатывании стопа, а не размер позиции.
• W: винрейт в десятичном виде (45% = 0,45).
• R: соотношение прибыли к убытку, средняя прибыль, делённая на средний убыток. Если убытки близки к 1R, это то же, что средний R-multiple прибыльных сделок.

Первый пункт важнее, чем кажется. Результат Келли 10% не означает позицию стоимостью 10% счёта. Он означает стоп, поставленный так, чтобы убыток стоил 10% счёта. Саму позицию затем рассчитывают от расстояния до стопа, так же как при обычном расчёте размера позиции.

Все цифры – наши собственные расчёты по формуле. Заметны две вещи. Во-первых, стратегия с нулевым матожиданием (expectancy) получает долю Келли ноль, а отрицательный результат означает, что формула советует не открывать сделку вовсе. Во-вторых, вполне обычная статистика даёт полный Келли на уровне 10-20% на сделку, что в разы больше 0,5-2%, которые допускает большинство правил риска.

Почему полный Келли слишком агрессивен для большинства трейдеров

Леонард Маклин, Эдвард Торп и Уильям Зимба подытоживают этот компромисс в обзоре хороших и плохих свойств критерия Келли. Главное преимущество – он максимизирует долгосрочную скорость роста капитала. Главный недостаток – рекомендуемые ставки могут быть очень большими, поэтому на короткой дистанции Келли может быть очень рискованным.

Таблица ниже использует винрейт 45% и соотношение 2,0 из примера выше, где полный Келли составляет 17,5%. Она сравнивает долгосрочный рост на сделку с просадкой после пяти убытков подряд, что вовсе не редкость: при винрейте 45% серия из пяти и более убытков встречается примерно в 92% последовательностей из 100 сделок, если сделки независимы.

Это наши собственные расчёты для данного примера, а не данные реальных счетов. Закономерность совпадает с исследованиями: половина Келли сохраняет примерно три четверти роста и заметно сокращает просадку. Маклин, Торп и Зимба приводят пример из блэкджека, где вероятность удвоить банкролл раньше, чем потерять половину, растёт примерно с 0,67 при полном Келли до примерно 0,89 при половине Келли, а относительный рост составляет около 0,75.

Выше Келли асимметрия работает в обратную сторону. Ставка больше доли Келли одновременно добавляет риска и снижает рост. Та же работа отмечает, что для процессов, близких к непрерывному времени, ставка вдвое больше Келли снижает рост примерно до безрисковой ставки, то есть весь дополнительный риск не даёт никакого дополнительного роста. В примере выше двойной Келли (35% на сделку) сохраняет лишь около 6% скорости роста, а пять убытков опускают счёт примерно на 88%.

Проблема входных данных: преимущество – это оценка

Келли предполагает, что винрейт и соотношение прибыли к убытку известны. В трейдинге они никогда не известны: это оценки по ограниченному журналу, и они дрейфуют вместе с рынком. Маклин, Торп и Зимба подчёркивают, что расчёты Келли крайне чувствительны к ошибкам в оценке средней доходности, и советуют уменьшать размер ставок, чтобы оставаться на безопасной стороне.

Размер выборки показывает, насколько широка эта неопределённость. Таблица берёт измеренный винрейт 45% при соотношении 2,0 и показывает диапазон в одну стандартную ошибку:

Даже на 200 сделках «правильный» размер по Келли вполне может оказаться вдвое меньше или вдвое больше другой разумной оценки, и это без учёта изменений в соотношении прибыли к убытку. Если истинный винрейт 40%, а журнал показывает 45%, трейдер, рискующий измеренными 17,5%, ставит в 1,75 раза больше истинного Келли в 10%. По нашему расчёту, это примерно вдвое снижает долгосрочную скорость роста по сравнению с правильным размером и одновременно открывает счёт гораздо более глубоким просадкам.

Как трейдеры применяют критерий Келли на практике

На практике критерий Келли полезнее как проверка здравого смысла, чем как правило определения размера:

1. Измерить входные данные на реальной выборке: винрейт и соотношение прибыли к убытку минимум по 100 закрытым сделкам по одинаковым правилам, после комиссий и проскальзывания.
2. Рассчитать полный Келли: если результат нулевой или отрицательный, проблема в стратегии, а не в размере.
3. Взять долю и применить жёсткий лимит: в литературе о Келли обычно рассматривают половину и четверть Келли; многие трейдеры идут дальше и ограничивают риск лимитом, который допускают правила счёта.
4. Пересчитывать по графику: обновлять входные данные на фиксированном обзоре, а не после удачной или неудачной серии.

Лимит часто важнее доли. На счёте проп-фирмы с, например, максимальным лимитом убытка 10% один убыток при полном Келли из примера 17,5% закрыл бы счёт. В такой ситуации полезное прочтение Келли противоположно «рискуй больше»: если фиксированный риск 1% уже значительно ниже четверти Келли, то результаты сдерживает не размер. Более широкая система таких лимитов – в нашем гайде по риск-менеджменту для трейдеров.

Где формула перестаёт работать

Простая трейдинговая версия Келли опирается на допущения, которые реальная торговля редко выполняет:

• Два фиксированных исхода: реальные сделки дают разброс R-multiple, включая частичные прибыли и убытки больше 1R из-за гэпов или проскальзывания.
• Независимые сделки: коррелированные позиции, открытые одновременно, работают как одна большая ставка, поэтому применение Келли к каждой по отдельности завышает безопасный размер.
• Стабильное преимущество: винрейт и соотношение прибыли к убытку меняются вместе с рыночными режимами, и данные прошлого квартала могут не описывать следующий.
• Неограниченное время: преимущество Келли асимптотическое. Маклин, Торп и Зимба указывают, что может пройти очень много времени, прежде чем одна стратегия надёжно обойдёт другую, а любая стратегия может дать плохой результат на конечной серии.

Это не делает формулу бесполезной. Это значит, что её результат описывает лучший сценарий для имеющейся статистики, а реальный ответ лежит ниже.

Что записывать, чтобы входные данные были реальными

Расчёт Келли хорош настолько, насколько хорош журнал за ним. Важные поля:

• Запланированный риск и фактический результат в R по каждой сделке, чтобы соотношение прибыли к убытку бралось из реальных выходов, а не из целей.
• Комиссии и проскальзывание отдельно, потому что они уменьшают соотношение прибыли к убытку, а с ним и долю Келли.
• Тег сетапа или стратегии, ведь два сетапа с разной статистикой имеют разные доли Келли, и смешивать их не стоит.
• Данные о сериях, например максимальная серия убыточных сделок, чтобы проверить, какую просадку дал бы тот или иной уровень риска.

Эта статья носит исключительно образовательный характер и не является финансовой или инвестиционной рекомендацией. Формулы и примеры иллюстративны и не являются рекомендуемыми размерами позиций. Трейдинг, особенно с кредитным плечом, связан с высоким риском потери части или всего капитала, а статистика прошлых сделок не гарантирует будущих результатов.

Торговый журнал, фиксирующий риск, R-multiple и сетап каждой сделки, вместе с дашбордом результатов, который показывает винрейт, среднюю прибыль и средний убыток во времени, даёт входные данные для проверки по Келли из реальных данных, а не по памяти.