Czym jest kryterium Kelly'ego?

W skrócie. Kryterium Kelly'ego to wzór na część kapitału, którą warto ryzykować w każdym zakładzie lub transakcji, aby zmaksymalizować długoterminowy wzrost rachunku przy znanej skuteczności i znanym stosunku zysku do straty. W tradingu zapisuje się go zwykle jako f = W − (1 − W) / R, gdzie W to skuteczność (win rate), a R to średni zysk podzielony przez średnią stratę. Słabym punktem są dane wejściowe: pełne Kelly zakłada, że przewaga jest znana dokładnie, dlatego większość traderów traktuje je jako górny limit i ryzykuje znacznie mniej.

Większość zasad ryzyka dla traderów zaczyna od stałej liczby, na przykład 1% rachunku na transakcję. Kryterium Kelly'ego podchodzi do tematu od drugiej strony. Pyta, jaka część kapitału, przy rzeczywistych statystykach tradera, najszybciej pomnoży rachunek w długiej serii transakcji, i przyjmuje każdy wynik, jaki da matematyka. Ten wynik jest często zaskakująco duży, a zrozumienie, dlaczego, to najcenniejsza część nauki wzoru.

Czym jest kryterium Kelly'ego

Wzór pochodzi od Johna L. Kelly'ego Jr., badacza z Bell Labs, który w lipcu 1956 roku opublikował w Bell System Technical Journal artykuł "A New Interpretation of Information Rate". Praca dotyczyła teorii informacji, a nie rynków: pokazywała, jak gracz dysponujący informacyjnym sygnałem może dobierać wielkość zakładów, by kapitał rósł w najszybszym możliwym tempie.

Edward O. Thorp zastosował później tę ideę do liczenia kart w blackjacku, a potem do papierów wartościowych. W pracy o kryterium Kelly'ego w blackjacku, zakładach sportowych i na giełdzie opisuje je jako maksymalizację wartości oczekiwanej logarytmu majątku, czyli podejście znane też jako strategia optymalnego wzrostu lub średniej geometrycznej. Mówiąc prościej: wielkość według Kelly'ego pomija średni wynik pojedynczej transakcji i optymalizuje złożony wynik długiej serii.

Wzór Kelly'ego dla tradingu

Dla transakcji z dwoma wynikami, zyskiem równym R-krotności ryzyka albo stratą równą ryzyku, udział Kelly'ego wynosi:

f = W − (1 − W) / R

• f: część rachunku ryzykowana w transakcji, czyli kwota tracona po aktywacji stopa, a nie wielkość pozycji.
• W: skuteczność jako ułamek dziesiętny (45% = 0,45).
• R: stosunek zysku do straty, średni zysk podzielony przez średnią stratę. Gdy straty są bliskie 1R, odpowiada on średniemu R-multiple transakcji zyskownych.

Pierwszy punkt jest ważniejszy, niż się wydaje. Wynik Kelly'ego 10% nie oznacza pozycji wartej 10% rachunku. Oznacza stop ustawiony tak, by strata kosztowała 10% rachunku. Samą pozycję oblicza się potem z odległości do stopa, dokładnie jak przy zwykłym ustalaniu wielkości pozycji.

Wszystkie liczby to nasze własne obliczenia według wzoru. Widać dwie rzeczy. Po pierwsze, strategia z zerową wartością oczekiwaną (expectancy) dostaje udział Kelly'ego równy zero, a wynik ujemny oznacza, że wzór odradza otwieranie transakcji. Po drugie, zupełnie zwyczajne statystyki dają pełne Kelly na poziomie 10-20% na transakcję, wielokrotnie więcej niż 0,5-2%, na które pozwala większość zasad ryzyka.

Dlaczego pełne Kelly jest zbyt agresywne dla większości traderów

Leonard MacLean, Edward Thorp i William Ziemba podsumowują ten kompromis w przeglądzie dobrych i złych właściwości kryterium Kelly'ego. Główną zaletą jest maksymalizacja długoterminowego tempa wzrostu majątku. Główną wadą jest to, że sugerowane zakłady mogą być bardzo duże, więc w krótkim terminie Kelly bywa bardzo ryzykowne.

Poniższa tabela wykorzystuje skuteczność 45% i stosunek 2,0 z przykładu powyżej, gdzie pełne Kelly wynosi 17,5%. Porównuje długoterminowy wzrost na transakcję z obsunięciem po pięciu stratach z rzędu, co wcale nie jest rzadkie: przy skuteczności 45% seria pięciu lub więcej strat pojawia się w około 92% sekwencji po 100 transakcji, zakładając niezależność transakcji.

To nasze własne obliczenia dla tego przykładu, a nie dane z prawdziwych rachunków. Wzorzec zgadza się z badaniami: połowa Kelly zachowuje około trzech czwartych wzrostu i wyraźnie zmniejsza obsunięcie. MacLean, Thorp i Ziemba przytaczają przykład z blackjacka, w którym prawdopodobieństwo podwojenia kapitału przed utratą połowy rośnie z około 0,67 przy pełnym Kelly do około 0,89 przy połowie Kelly, przy względnym wzroście około 0,75.

Powyżej Kelly'ego asymetria działa w drugą stronę. Ryzykowanie więcej niż udział Kelly'ego jednocześnie zwiększa ryzyko i obniża wzrost. Ta sama praca zauważa, że dla procesów bliskich czasowi ciągłemu podwójne Kelly obniża wzrost mniej więcej do stopy wolnej od ryzyka, czyli całe dodatkowe ryzyko nie daje żadnego dodatkowego wzrostu. W przykładzie powyżej podwójne Kelly (35% na transakcję) zachowuje tylko około 6% tempa wzrostu, a pięć strat obniża rachunek o około 88%.

Problem danych wejściowych: przewaga to tylko szacunek

Kelly zakłada, że skuteczność i stosunek zysku do straty są znane. W tradingu nigdy nie są: to szacunki z ograniczonego dziennika, które zmieniają się razem z rynkiem. MacLean, Thorp i Ziemba podkreślają, że obliczenia Kelly'ego są skrajnie wrażliwe na błędy w szacowanej średniej stopie zwrotu, i zalecają zmniejszanie zakładów dla bezpieczeństwa.

Wielkość próby pokazuje, jak duża jest ta niepewność. Tabela zakłada zmierzoną skuteczność 45% przy stosunku 2,0 i pokazuje zakres jednego błędu standardowego:

Nawet przy 200 transakcjach „właściwa” wielkość Kelly'ego mogłaby realnie być o połowę mniejsza lub dwa razy większa od innego rozsądnego szacunku, i to bez uwzględnienia zmian stosunku zysku do straty. Jeśli prawdziwa skuteczność wynosi 40%, a dziennik pokazuje 45%, trader ryzykujący zmierzone 17,5% stawia 1,75 raza więcej niż prawdziwe Kelly równe 10%. Według naszych obliczeń obniża to długoterminowe tempo wzrostu mniej więcej o połowę względem właściwej wielkości i jednocześnie naraża rachunek na znacznie głębsze obsunięcia.

Jak traderzy stosują kryterium Kelly'ego w praktyce

W praktyce kryterium Kelly'ego jest bardziej przydatne jako test zdrowego rozsądku niż jako reguła wielkości pozycji:

1. Zmierzyć dane na prawdziwej próbie: skuteczność i stosunek zysku do straty z co najmniej 100 zamkniętych transakcji według tych samych zasad, po prowizjach i poślizgu.
2. Obliczyć pełne Kelly: jeśli wynik jest zerowy lub ujemny, problemem jest strategia, a nie wielkość.
3. Wziąć ułamek i nałożyć twardy limit: literatura o Kellym zwykle omawia połowę i ćwierć Kelly; wielu traderów idzie dalej i ogranicza ryzyko do tego, na co pozwalają zasady rachunku.
4. Przeliczać według harmonogramu: aktualizować dane przy stałym przeglądzie, a nie po dobrej czy złej serii.

Limit często znaczy więcej niż ułamek. Na rachunku firmy prop z, na przykład, maksymalnym limitem straty 10% jedna strata przy pełnym Kelly z przykładu 17,5% zakończyłaby rachunek. W takiej sytuacji użyteczne odczytanie Kelly'ego jest odwrotne do „ryzykuj więcej”: jeśli stałe ryzyko 1% jest już znacznie poniżej ćwierci Kelly, to nie wielkość pozycji hamuje wyniki. Szersze ramy takich limitów opisuje nasz poradnik o zarządzaniu ryzykiem dla traderów.

Gdzie wzór przestaje działać

Prosta tradingowa wersja Kelly'ego opiera się na założeniach, których prawdziwy trading rzadko spełnia:

• Dwa stałe wyniki: prawdziwe transakcje dają rozrzut R-multiple, w tym częściowe zyski i straty większe niż 1R przez luki cenowe lub poślizg.
• Niezależne transakcje: skorelowane pozycje otwarte jednocześnie działają jak jeden większy zakład, więc liczenie Kelly'ego dla każdej osobno zawyża bezpieczną wielkość.
• Stabilna przewaga: skuteczność i stosunek zysku do straty zmieniają się wraz z reżimem rynku, więc dane z ostatniego kwartału mogą nie opisywać następnego.
• Nieograniczony czas: przewaga Kelly'ego jest asymptotyczna. MacLean, Thorp i Ziemba wskazują, że może minąć bardzo dużo czasu, zanim jedna strategia niezawodnie wyprzedzi inną, a każda strategia może dać słaby wynik w skończonej serii.

Nie czyni to wzoru bezużytecznym. Oznacza tylko, że jego wynik opisuje najlepszy scenariusz dla danych statystyk, a realna odpowiedź leży niżej.

Co zapisywać, aby dane wejściowe były prawdziwe

Obliczenie Kelly'ego jest tak dobre, jak dziennik, który za nim stoi. Liczą się następujące pola:

• Planowane ryzyko i rzeczywisty wynik w R dla każdej transakcji, aby stosunek zysku do straty wynikał z prawdziwych wyjść, a nie z celów.
• Prowizje i poślizg, zapisywane osobno, bo zmniejszają stosunek zysku do straty, a wraz z nim udział Kelly'ego.
• Tag setupu lub strategii, bo dwa setupy o różnych statystykach mają różne udziały Kelly'ego i nie należy ich mieszać.
• Dane o seriach, takie jak maksymalna seria stratnych transakcji, aby sprawdzić, jakie obsunięcie dałby dany poziom ryzyka.

Ten artykuł ma wyłącznie charakter edukacyjny i nie stanowi porady finansowej ani inwestycyjnej. Wzory i przykłady są poglądowe i nie są zalecanymi wielkościami pozycji. Trading, zwłaszcza z dźwignią, wiąże się z wysokim ryzykiem utraty części lub całości kapitału, a statystyki przeszłych transakcji nie gwarantują przyszłych wyników.

Dziennik tradingowy, który zapisuje ryzyko, R-multiple i setup każdej transakcji, razem z panelem wyników pokazującym skuteczność oraz średni zysk i stratę w czasie, dostarcza danych do sprawdzenia Kelly'ego z prawdziwych danych, a nie z pamięci.