Qu'est-ce que le critère de Kelly ?
Le critère de Kelly donne la fraction du capital par trade qui maximise la croissance à long terme : f = W − (1 − W) / R. Cette entrée explique son origine, des exemples chiffrés, pourquoi un Kelly complet de 10-20 % est trop agressif, comment la taille de l'échantillon rend les données incertaines et pourquoi on l'utilise comme plafond.
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En bref. Le critère de Kelly est une formule qui donne la fraction du capital à risquer sur chaque pari ou trade pour maximiser la croissance du compte à long terme, à taux de réussite et ratio de gain connus. En trading, on l'écrit généralement f = W − (1 − W) / R, où W est le taux de réussite et R le gain moyen divisé par la perte moyenne. Son point faible, ce sont les données d'entrée : le Kelly complet suppose que votre avantage est connu avec exactitude, c'est pourquoi la plupart des traders qui l'utilisent le traitent comme un plafond et risquent beaucoup moins.
La plupart des règles de risque pour traders partent d'un chiffre fixe, comme risquer 1 % du compte par trade. Le critère de Kelly part de l'autre extrémité. Il demande quelle fraction du capital, au vu de vos statistiques réelles, ferait croître le compte le plus vite sur un grand nombre de trades, puis accepte la réponse que donnent les mathématiques, quelle qu'elle soit. Cette réponse est souvent étonnamment élevée, et comprendre pourquoi est la partie la plus utile de la formule.
Qu'est-ce que le critère de Kelly
La formule vient de John L. Kelly Jr., chercheur aux Bell Labs, qui a publié "A New Interpretation of Information Rate" dans le Bell System Technical Journal en juillet 1956. L'article portait sur la théorie de l'information, pas sur les marchés : il montrait comment un parieur disposant d'un signal informatif pouvait dimensionner ses mises pour faire croître son capital au rythme le plus rapide possible.
Edward O. Thorp a ensuite appliqué l'idée au comptage de cartes au blackjack, puis aux titres financiers. Dans son article sur le critère de Kelly au blackjack, dans les paris sportifs et en bourse, il le décrit comme la maximisation de l'espérance du logarithme de la richesse, une approche aussi appelée stratégie de croissance optimale ou de moyenne géométrique. En clair : la taille selon Kelly ignore le résultat moyen d'un trade isolé et optimise le résultat composé d'une longue série de trades.
La formule de Kelly pour le trading
Pour un trade à deux issues, un gain égal à R fois le montant risqué ou une perte égale au montant risqué, la fraction de Kelly est :
f = W − (1 − W) / R
- f : la fraction du compte risquée sur le trade, c'est-à-dire le montant perdu si le stop est touché, et non la taille de la position.
- W : le taux de réussite en décimal (45 % = 0,45).
- R : le ratio de gain, gain moyen divisé par perte moyenne. Si les pertes sont proches de 1R, il correspond au R-multiple moyen des trades gagnants.
Le premier point compte plus qu'il n'y paraît. Un résultat de Kelly de 10 % ne signifie pas une position valant 10 % du compte. Il signifie un stop placé de sorte qu'une perte coûte 10 % du compte. La position elle-même se calcule ensuite à partir de la distance du stop, exactement comme pour la taille de position classique.
| Taux de réussite | Ratio de gain (gain moyen / perte moyenne) | Espérance par trade | Risque par trade au Kelly complet |
|---|---|---|---|
| 60 % | 1,0 | +0,20R | 20,0 % |
| 50 % | 1,5 | +0,25R | 16,7 % |
| 45 % | 2,0 | +0,35R | 17,5 % |
| 35 % | 2,5 | +0,23R | 9,0 % |
| 40 % | 1,5 | 0R | 0 % (pas d'avantage) |
Tous les chiffres sont nos propres calculs à partir de la formule. Deux choses ressortent. D'abord, une stratégie à espérance (expectancy) nulle obtient une fraction de Kelly nulle, et un résultat négatif signifie que la formule conseille de ne pas prendre le trade. Ensuite, des statistiques tout à fait ordinaires donnent un Kelly complet de 10-20 % par trade, plusieurs fois plus que les 0,5-2 % qu'autorisent la plupart des règles de risque.
Pourquoi le Kelly complet est trop agressif pour la plupart des traders
Leonard MacLean, Edward Thorp et William Ziemba résument ce compromis dans leur synthèse des bonnes et mauvaises propriétés du critère de Kelly. Son principal avantage est de maximiser le taux de croissance de la richesse à long terme. Son principal inconvénient est que les mises suggérées peuvent être très importantes, si bien que Kelly peut être très risqué à court terme.
Le tableau reprend le taux de réussite de 45 % et le ratio de 2,0 de l'exemple ci-dessus, pour lesquels le Kelly complet vaut 17,5 %. Il compare la croissance à long terme par trade au drawdown après cinq pertes consécutives, ce qui n'a rien de rare : avec 45 % de réussite, une série de cinq pertes ou plus apparaît dans environ 92 % des séquences de 100 trades, en supposant des trades indépendants.
| Fraction de Kelly | Risque par trade | Croissance à long terme par rapport au Kelly complet | Drawdown après 5 pertes consécutives |
|---|---|---|---|
| Kelly complet | 17,5 % | 100 % | environ 62 % |
| Demi-Kelly | 8,75 % | environ 76 % | environ 37 % |
| Quart de Kelly | 4,4 % | environ 45 % | environ 20 % |
| Dixième de Kelly | 1,75 % | environ 20 % | environ 8 % |
Ce sont nos propres calculs pour cet exemple, pas des données de comptes réels. Le schéma rejoint la recherche : le demi-Kelly conserve environ les trois quarts de la croissance tout en réduisant nettement le drawdown. MacLean, Thorp et Ziemba reprennent un exemple de blackjack où la probabilité de doubler sa bankroll avant de la voir divisée par deux passe d'environ 0,67 au Kelly complet à environ 0,89 au demi-Kelly, pour une croissance relative d'environ 0,75.
Au-delà de Kelly, l'asymétrie joue dans l'autre sens. Miser plus que la fraction de Kelly ajoute du risque et réduit la croissance en même temps. Le même article note que, pour des processus proches du temps continu, miser le double de Kelly ramène la croissance à peu près au taux sans risque, c'est-à-dire aucune croissance supplémentaire pour tout le risque ajouté. Dans l'exemple ci-dessus, le double Kelly (35 % par trade) ne conserve qu'environ 6 % du taux de croissance, tandis que cinq pertes font chuter le compte d'environ 88 %.
Le problème des données : votre avantage est une estimation
Kelly suppose que le taux de réussite et le ratio de gain sont connus. En trading, ils ne le sont jamais : ce sont des estimations tirées d'un journal limité, et ils évoluent avec le marché. MacLean, Thorp et Ziemba insistent sur le fait que les calculs de Kelly sont extrêmement sensibles aux erreurs sur le rendement moyen estimé, et recommandent de réduire la taille des mises par prudence.
La taille de l'échantillon montre l'ampleur de cette incertitude. Le tableau part d'un taux de réussite mesuré de 45 % avec un ratio de 2,0 et indique la plage d'une erreur type :
| Trades dans l'échantillon | Plage du taux de réussite (±1 erreur type) | Plage du Kelly complet |
|---|---|---|
| 50 | environ 38 % à 52 % | environ 7 % à 28 % |
| 100 | 40 % à 50 % | 10 % à 25 % |
| 200 | environ 41,5 % à 48,5 % | environ 12 % à 23 % |
| 500 | environ 43 % à 47 % | environ 14 % à 21 % |
Même avec 200 trades, la « bonne » taille de Kelly pourrait plausiblement valoir la moitié ou le double d'une autre estimation raisonnable, sans même compter les variations du ratio de gain. Si le vrai taux de réussite est de 40 % alors que le journal affiche 45 %, un trader qui risque les 17,5 % mesurés mise 1,75 fois le vrai Kelly de 10 %. Selon notre calcul, cela divise environ par deux le taux de croissance à long terme par rapport à la bonne taille, tout en exposant le compte à des drawdowns bien plus profonds.
Comment les traders utilisent le critère de Kelly en pratique
En pratique, le critère de Kelly est plus utile comme garde-fou que comme règle de dimensionnement :
- Mesurer les données sur un vrai échantillon : taux de réussite et ratio de gain sur au moins 100 trades clôturés selon les mêmes règles, après frais et slippage.
- Calculer le Kelly complet : si le résultat est nul ou négatif, le problème vient de la stratégie, pas de la taille.
- Prendre une fraction et fixer un plafond strict : la littérature sur Kelly traite souvent du demi et du quart de Kelly ; beaucoup de traders vont plus loin et plafonnent le risque à ce qu'autorisent les règles de leur compte.
- Recalculer selon un calendrier : mettre à jour les données lors d'une revue fixe, pas après une bonne ou une mauvaise série.
Le plafond compte souvent plus que la fraction. Sur un compte de prop firm avec, par exemple, une limite de perte maximale de 10 %, une seule perte au Kelly complet de l'exemple à 17,5 % mettrait fin au compte. Dans ce cadre, la lecture utile de Kelly est l'inverse de « risquer plus » : si votre risque fixe de 1 % est déjà très inférieur à un quart de Kelly, ce n'est pas la taille qui freine les résultats. Le cadre plus large de ces limites est présenté dans notre guide sur la gestion du risque pour les traders.
Les limites de la formule
La version simple de Kelly pour le trading repose sur des hypothèses que le trading réel respecte rarement :
- Deux issues fixes : les vrais trades produisent une dispersion de R-multiples, avec des gains partiels et des pertes supérieures à 1R à cause des gaps ou du slippage.
- Des trades indépendants : des positions corrélées ouvertes en même temps agissent comme une seule mise plus grosse, donc appliquer Kelly à chacune séparément surestime la taille prudente.
- Un avantage stable : le taux de réussite et le ratio de gain changent avec les régimes de marché, et les données du dernier trimestre peuvent ne pas décrire le suivant.
- Un temps illimité : l'avantage de Kelly est asymptotique. MacLean, Thorp et Ziemba soulignent qu'il peut falloir très longtemps pour qu'une stratégie en surpasse une autre de façon fiable, et que toute stratégie peut donner un mauvais résultat sur une série finie.
Rien de tout cela ne rend la formule inutile. Cela signifie que son résultat décrit le meilleur cas pour vos statistiques, et que la vraie réponse se situe en dessous.
Que consigner pour que les données soient réelles
Un calcul de Kelly ne vaut que par le journal qui le soutient. Les champs importants sont :
- Risque prévu et résultat réel en R pour chaque trade, afin que le ratio de gain provienne de sorties réelles et non d'objectifs.
- Frais et slippage, notés à part, car ils réduisent le ratio de gain et donc la fraction de Kelly.
- Tag de setup ou de stratégie, car deux setups aux statistiques différentes ont des fractions de Kelly différentes et ne doivent pas être mélangés.
- Données de séries, comme la série maximale de pertes consécutives, pour vérifier le drawdown qu'un niveau de risque donné aurait produit.
Cet article est fourni à titre éducatif uniquement et ne constitue pas un conseil financier ou en investissement. Les formules et les exemples sont illustratifs et ne sont pas des tailles de position recommandées. Le trading, en particulier avec effet de levier, comporte un risque élevé de perdre tout ou partie de son capital, et les statistiques des trades passés ne garantissent pas les résultats futurs.
Un journal de trading qui enregistre le risque, le R-multiple et le setup de chaque trade, associé à un tableau de bord de performance qui montre le taux de réussite ainsi que le gain et la perte moyens dans le temps, fournit les données d'un contrôle de Kelly à partir de données réelles plutôt que de la mémoire.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que le critère de Kelly en termes simples ?
Quelle est la formule de Kelly pour le trading ?
La fraction de Kelly correspond-elle à la taille de position ?
Pourquoi les traders utilisent-ils le demi-Kelly ou moins ?
Que se passe-t-il si l'on mise plus que la fraction de Kelly ?
Combien de trades faut-il pour calculer Kelly de façon fiable ?
Équipe BitStat
Des recherches pratiques et des processus reproductibles pour les traders qui veulent fonder chaque décision sur des preuves.
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