Was ist das Kelly-Kriterium?

Kurz gesagt. Das Kelly-Kriterium ist eine Formel für den Anteil des Kapitals, der pro Wette oder Trade riskiert werden sollte, um das langfristige Kontowachstum zu maximieren, sofern Trefferquote und Gewinn-Verlust-Verhältnis bekannt sind. Im Trading wird sie meist als f = W − (1 − W) / R geschrieben, wobei W die Trefferquote und R der Durchschnittsgewinn geteilt durch den Durchschnittsverlust ist. Die Schwäche liegt in den Eingaben: Volles Kelly setzt voraus, dass der eigene Vorteil exakt bekannt ist. Deshalb nutzen die meisten Trader es als Obergrenze und riskieren deutlich weniger.

Die meisten Risikoregeln für Trader beginnen mit einer festen Zahl, etwa 1% des Kontos pro Trade. Das Kelly-Kriterium setzt am anderen Ende an. Es fragt, welcher Kapitalanteil das Konto auf Basis der tatsächlichen Statistik über viele Trades am schnellsten wachsen lässt, und akzeptiert jedes Ergebnis, das die Mathematik liefert. Dieses Ergebnis ist oft überraschend groß, und die Gründe dafür zu verstehen, ist der nützlichste Teil der Formel.

Was das Kelly-Kriterium ist

Die Formel stammt von John L. Kelly Jr., einem Forscher der Bell Labs, der im Juli 1956 im Bell System Technical Journal den Aufsatz "A New Interpretation of Information Rate" veröffentlichte. Es ging um Informationstheorie, nicht um Märkte: Die Arbeit zeigte, wie ein Spieler mit einem informativen Signal seine Einsätze so bemessen kann, dass das Kapital mit der höchstmöglichen Rate wächst.

Edward O. Thorp übertrug die Idee später auf das Kartenzählen beim Blackjack und dann auf Wertpapiere. In seiner Arbeit über das Kelly-Kriterium bei Blackjack, Sportwetten und am Aktienmarkt beschreibt er es als Maximierung des Erwartungswerts des Logarithmus des Vermögens, ein Ansatz, der auch als wachstumsoptimale oder geometrische Mittelwert-Strategie bekannt ist. Einfach gesagt: Kelly ignoriert das Durchschnittsergebnis eines einzelnen Trades und optimiert das verzinste Ergebnis einer langen Serie.

Die Kelly-Formel fürs Trading

Für einen Trade mit zwei Ausgängen, einem Gewinn in Höhe des R-fachen Risikos oder einem Verlust in Höhe des Risikos, lautet der Kelly-Anteil:

f = W − (1 − W) / R

• f: der Anteil des Kontos, der im Trade riskiert wird, also der Betrag, der beim Auslösen des Stops verloren geht, nicht die Positionsgröße.
• W: die Trefferquote als Dezimalzahl (45% = 0,45).
• R: das Gewinn-Verlust-Verhältnis, Durchschnittsgewinn geteilt durch Durchschnittsverlust. Liegen die Verluste nahe 1R, entspricht es dem durchschnittlichen R-Multiple der Gewinner.

Der erste Punkt ist wichtiger, als er aussieht. Ein Kelly-Ergebnis von 10% bedeutet keine Position im Wert von 10% des Kontos. Es bedeutet einen Stop, der so gesetzt ist, dass ein Verlust 10% des Kontos kostet. Die Position selbst wird dann aus dem Stop-Abstand berechnet, genau wie beim üblichen Position Sizing.

Alle Zahlen sind unsere eigenen Berechnungen mit der Formel. Zwei Dinge fallen auf. Erstens erhält eine Strategie mit einem Erwartungswert (Expectancy) von null einen Kelly-Anteil von null, und ein negatives Ergebnis bedeutet, dass die Formel vom Trade ganz abrät. Zweitens ergeben völlig gewöhnliche Kennzahlen volle Kelly-Größen von 10-20% pro Trade, ein Vielfaches der 0,5-2%, die die meisten Risikoregeln erlauben.

Warum volles Kelly für die meisten Trader zu aggressiv ist

Leonard MacLean, Edward Thorp und William Ziemba fassen den Zielkonflikt in ihrer Übersicht über die guten und schlechten Eigenschaften des Kelly-Kriteriums zusammen. Der Hauptvorteil: Es maximiert die langfristige Wachstumsrate des Vermögens. Der Hauptnachteil: Die vorgeschlagenen Einsätze können sehr groß sein, sodass Kelly kurzfristig sehr riskant sein kann.

Die folgende Tabelle nutzt die Trefferquote von 45% und das Verhältnis von 2,0 von oben, bei denen volles Kelly 17,5% beträgt. Sie vergleicht das langfristige Wachstum pro Trade mit dem Drawdown nach fünf Verlusten in Folge, was keineswegs selten ist: Bei 45% Trefferquote tritt eine Serie von fünf oder mehr Verlusten in etwa 92% aller Folgen von 100 Trades auf, sofern die Trades unabhängig sind.

Das sind unsere eigenen Berechnungen für dieses Beispiel, keine Daten echter Konten. Das Muster deckt sich mit der Forschung: Halbes Kelly behält etwa drei Viertel des Wachstums und senkt den Drawdown deutlich. MacLean, Thorp und Ziemba zeigen ein Blackjack-Beispiel, in dem die Wahrscheinlichkeit, das Kapital zu verdoppeln, bevor es sich halbiert, von etwa 0,67 bei vollem Kelly auf etwa 0,89 bei halbem Kelly steigt, bei einem relativen Wachstum von etwa 0,75.

Oberhalb von Kelly läuft die Asymmetrie in die andere Richtung. Wer mehr als den Kelly-Anteil setzt, erhöht das Risiko und senkt gleichzeitig das Wachstum. Dieselbe Arbeit hält fest, dass bei Prozessen nahe an stetiger Zeit ein doppelter Kelly-Einsatz das Wachstum etwa auf den risikofreien Zins drückt, das zusätzliche Risiko also kein zusätzliches Wachstum bringt. Im Beispiel oben behält doppeltes Kelly (35% pro Trade) nur etwa 6% der Wachstumsrate, während fünf Verluste das Konto um etwa 88% senken.

Das Eingabeproblem: Ihr Vorteil ist eine Schätzung

Kelly setzt voraus, dass Trefferquote und Gewinn-Verlust-Verhältnis bekannt sind. Im Trading sind sie das nie: Es sind Schätzungen aus einem begrenzten Journal, und sie verschieben sich mit dem Markt. MacLean, Thorp und Ziemba betonen, dass Kelly-Berechnungen extrem empfindlich auf Fehler bei der geschätzten mittleren Rendite reagieren, und empfehlen, die Einsätze zur Sicherheit zu verringern.

Die Stichprobengröße zeigt, wie groß die Unsicherheit ist. Die Tabelle nimmt eine gemessene Trefferquote von 45% bei einem Verhältnis von 2,0 und zeigt die Spanne von einem Standardfehler:

Selbst bei 200 Trades könnte die „richtige“ Kelly-Größe plausibel halb oder doppelt so groß sein wie eine andere vernünftige Schätzung, und Veränderungen im Gewinn-Verlust-Verhältnis sind dabei noch nicht berücksichtigt. Liegt die wahre Trefferquote bei 40%, das Journal zeigt aber 45%, dann setzt ein Trader mit den gemessenen 17,5% das 1,75-Fache des wahren Kelly von 10%. Nach unserer Berechnung halbiert das ungefähr die langfristige Wachstumsrate gegenüber der richtigen Größe und setzt das Konto gleichzeitig viel tieferen Drawdowns aus.

Wie Trader das Kelly-Kriterium in der Praxis nutzen

In der Praxis ist das Kelly-Kriterium als Plausibilitätsprüfung nützlicher denn als Regel für die Positionsgröße:

1. Eingaben an einer echten Stichprobe messen: Trefferquote und Gewinn-Verlust-Verhältnis aus mindestens 100 geschlossenen Trades nach denselben Regeln, nach Gebühren und Slippage.
2. Volles Kelly berechnen: Ist das Ergebnis null oder negativ, liegt das Problem in der Strategie, nicht in der Größe.
3. Einen Bruchteil nehmen und eine harte Grenze setzen: Die Kelly-Literatur behandelt häufig halbes und Viertel-Kelly; viele Trader gehen weiter und begrenzen das Risiko auf das, was ihre Kontoregeln erlauben.
4. Nach Plan neu berechnen: Die Eingaben bei einem festen Review aktualisieren, nicht nach einer heißen oder kalten Serie.

Die Grenze ist oft wichtiger als der Bruchteil. Auf einem Prop-Firm-Konto mit beispielsweise 10% maximalem Verlustlimit würde ein einziger Verlust bei vollem Kelly aus dem 17,5%-Beispiel das Konto beenden. In diesem Umfeld lautet die sinnvolle Lesart von Kelly gerade nicht „mehr setzen“: Liegt das feste Risiko von 1% bereits weit unter einem Viertel Kelly, bremst nicht die Größe die Ergebnisse. Den größeren Rahmen für solche Grenzen beschreibt unser Leitfaden zum Risikomanagement für Trader.

Wo die Formel an Grenzen stößt

Die einfache Trading-Version von Kelly beruht auf Annahmen, die echtes Trading selten erfüllt:

• Zwei feste Ausgänge: Echte Trades liefern eine Streuung von R-Multiples, einschließlich Teilgewinnen und Verlusten über 1R durch Gaps oder Slippage.
• Unabhängige Trades: Korrelierte Positionen, die gleichzeitig offen sind, wirken wie ein größerer Einsatz, daher überschätzt Kelly für jede Position einzeln die sichere Größe.
• Ein stabiler Vorteil: Trefferquoten und Gewinnverhältnisse ändern sich mit dem Marktregime, die Werte des letzten Quartals beschreiben das nächste also womöglich nicht.
• Unbegrenzte Zeit: Der Vorteil von Kelly ist asymptotisch. MacLean, Thorp und Ziemba weisen darauf hin, dass es sehr lange dauern kann, bis eine Strategie eine andere verlässlich übertrifft, und jede Strategie kann über eine endliche Serie schlecht abschneiden.

Das macht die Formel nicht nutzlos. Es bedeutet, dass ihr Ergebnis den besten Fall für Ihre Statistik beschreibt und die realistische Antwort darunter liegt.

Was Sie protokollieren sollten, damit die Eingaben stimmen

Eine Kelly-Berechnung ist nur so gut wie das Journal dahinter. Wichtig sind diese Felder:

• Geplantes Risiko und tatsächliches Ergebnis in R für jeden Trade, damit das Gewinn-Verlust-Verhältnis aus echten Ausstiegen stammt, nicht aus Zielen.
• Gebühren und Slippage, separat erfasst, weil sie das Gewinn-Verlust-Verhältnis und damit den Kelly-Anteil verringern.
• Setup- oder Strategie-Tag, denn zwei Setups mit unterschiedlicher Statistik haben unterschiedliche Kelly-Anteile und sollten nicht vermischt werden.
• Seriendaten, etwa die maximale Verlustserie, um zu prüfen, welchen Drawdown ein bestimmtes Risikoniveau erzeugt hätte.

Dieser Artikel dient ausschließlich Bildungszwecken und stellt keine Finanz- oder Anlageberatung dar. Die Formeln und Beispiele sind illustrativ und keine empfohlenen Positionsgrößen. Trading, insbesondere mit Hebel, birgt ein hohes Risiko, einen Teil oder das gesamte Kapital zu verlieren, und Statistiken vergangener Trades garantieren keine künftigen Ergebnisse.

Ein Trading-Journal, das Risiko, R-Multiple und Setup jedes Trades erfasst, zusammen mit einem Performance-Dashboard, das Trefferquote sowie durchschnittlichen Gewinn und Verlust im Zeitverlauf zeigt, liefert die Eingaben für einen Kelly-Check aus echten Daten statt aus dem Gedächtnis.